点估计是用于估计总体参数的样本统计量，但是我们不可能通过点估计就给出总体参数的一个精确值，更稳妥的方法是加减一个边际误差，通过一个区间值来估计(区间估计)

总体均值的区间的估计

总体均值的区间的估计：σ已知情形

对总体均值进行估计时:

1. 要利用总体标准差σ计算边际误差

2. 抽样前可通过大量历史数据估计总体标准差。

下面做一道例题感受下吧

这是一道有关顾客购物消费额的问题，根据历史数据，σ=20美元，并且总体服正态分布。现在抽取n=100名顾客的简单随机样本，其样本均值(x拔)=82美元。求总体均值的区间估计

开始解答：

1. 总体服从正态分布，所以样本均值的抽样分布也是正态分布。

2. 根据σ=20美元，得出

3. 所以x拔的抽样分布服从标准差为σ(x拔)=2的正态分布

4. 任何正态分布的随机变量都有95%的值在均值附近加减1.96个标准差以内(通过查表可得)

5. σ(x拔)=2，(x拔)所有值的95%都落在【u加减1.96σ(x拔)也即是u加减3.92】

也即是：

(x拔)=82美元

所以u的区间估计是(78.08,85.92)

其中这个区间是在95%置信水平下建立的，置信系数为0.05。区间(78.08,85.92)为95%的置信区间。

根据公式来计算区间，边际误差、区间估计如下图所示：

所以：

在90%，95%，99%的置信水平情况下：

所以90%,99%的置信水平下的置信区间为：

其实我们也能得出这样的结论：想要达到的置信水平越高，边际误差就要越大，置信区间也是越宽。

总体均值的区间估计：σ未知情形

1. 当σ未知时，我们需要利用同一个样本估计u和σ两个参数

2. 用s估计σ时，边际误差和总体均值的区间估计依据t分布

并且总体是不是正态分布用t分布来估计效果都是挺好的。

t分布

有一类相似的概率分布组成的分布族；某个特定的t分布依赖于自由度的参数；自由度越大，t分布与标准正态分布的差别越小；t分布的均值为0；

其中与z分布有类似的情况的是：

例如：

利用的计算公式如下：

边际误差：

区间估计

样本标准差

自由度:n-1

注：

样本容量的确定

我们可以选择足够的样本容量以达到所希望的边际误差

由于边际误差公式为：

所以总体均值区间估计中的样本容量为：

注：

如果σ未知，可通过以下方法确定σ的初始值

1. 根据以前研究中的数据计算总体标准差的估计值

2. 利用实验性研究，选取一个初始样本，以初始样本的标准差做估计值

3. 对σ进行判断或最优猜测：计算极差/4为标准差的粗略估计

如果σ未知，可通过以下方法确定σ的初始值

1. 根据以前研究中的数据计算总体标准差的估计值

2. 利用实验性研究，选取一个初始样本，以初始样本的标准差做估计值

3. 对σ进行判断或最优猜测：计算极差/4为标准差的粗略估计

  总体比率p的区间估计

由于和总体均值的区间估计类似，这里就不详细说明了，直接上公式：

边际误差：

区间估计：

样本容量的确定

我们可以选择足够的样本容量以达到所希望的边际误差

边际误差：

所以样本容量为：

由于抽样前(p拔)是未知的，不能用于计算达到预期的边际误差所要的样本容量，因此令(p星)表示(p拔)的计划值

p星的确定

1. 用以前研究中类似的样本的样本比率作为计划值

2. 利用实验性的研究，选取一个初始样本，以初始样本的样本比例作为计划值。

3. 使用判断或最优猜测作为计划值

4. 如果上述均不可，计划值取为0.5，这是因为p(星)=0.5时，p星*(1-p星)取得最大值，同时样本容量也能取的最大值。