概率是指的对于某一个特定事件的可能性的数值度量，且在0-1之间。我们抛一枚硬币，它有正面朝上和反面朝上两种结果，通常用样本空间S表示，S={正面，反面}，而正面朝上这一特定的试验结果叫样本点。对于样本空间少的试验，我们极易观察出他们样本空间的大小，而对于较复杂的试验，我们就需要学习些计数法则了。

  计数法则

多步骤试验的计数法则

如果一个试验可以分为循序的k个步骤，在第1步中有N1种试验结果，在第2步中有N2种试验结果...以此类推。那么所有的试验结果的总数为N1*N2*N3...*Nk。

举例：抛两枚硬币，第一枚有正反两种结果，第二枚有正反两种结果。所以试验结果的总数是 2X2=4

组合计数法则

从N项中任取n项的组合数：

N和n的上下位置与我们平常见的是相反的。因为我们这里是以欧美规范为主。

举例子：从5个彩色球中，选出2个彩球，有多少种选法？

排列计数法则

从N项中任取n项的排列数

举例子：从5个彩色球中，选出2个彩球，有多少种排列方法？

代入得出答案是20种

事件及其概率

事件

其实事件为样本空间的一个子集，通常，如果能确定一个试验的所有样本点并且能够知晓每个样本点的概率，那么我们就能求出事件的概率。

概率的基本性质

事件A的补：指的是所有不包含在事件A中的样本点所以事件A发生的

概率   P(A)=1-P(A-)

事件的组合：并和交

两个圆形区域所在的部分就是事件A和B的并，其中重叠的部分说明有一些样本点即属于A又属于B，它可以称之为交。

得出加法公式为：

P(A∪B) = P(A)+P(B) – P(A∩B)。P(A∪B) 是两个圆形面积，P(A)是蓝色圆面积，P(B)是橙色圆面积，当两者相加时，会多出一块重叠区域，于是减去P(A∩B)进行修正，得出正确的结果。

如果某个事件A发生的可能性受到另外一个事件B的影响，此时A发生的可能性叫做条件概率，记作P(A|B)。表明我们是在B条件已经发生的条件下考虑A发生的可能性，统计学中称为给定条件B下事件A的概率。

进而又得出了乘法公式：

贝叶斯定理

简单的来讲，贝叶斯定理其实就是，我们先假设一个事件发生的概率，然后又找到一个信息，最后得出在这个信息下这一事件发生的概率。

举一个我们生活中的例子，当我们和一个被怀疑做坏事的人聊天时，我们首先假设他做坏事的概率为a，然后我们根据和他交谈的信息，得出对他新的认识，重新判断他做坏事的概率b.

贝叶斯就是阐述了这么一个事实：

新信息出现后B的概率=B的概率 X 新信息带来的调整

如果当直接计算P(A)较为困难时,而P(Bj),P(A|Bj)  (j=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。

思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bj发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bj)，由加法公式得

    P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)

          =P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)

所以调整后的贝叶斯公式为：