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什么是置信区间?

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yishen8888 一阶会员 用户来自于: 广东省深圳市
2023-09-05 22:43

置信区间,就是一种区间估计。

点估计与区间估计

游戏规则是(假设只有一个大奖):

大奖事先就固定好了,一定印在某一张刮刮卡上

买了刮刮卡之后,刮开就知道自己是否中奖

那么我们起码有两种策略来刮奖:

点估计:买一张,这就相当于你猜测这一张会中奖

区间估计:买一盒,这就相当于你猜测这一盒里面会有某一张中奖

很显然区间估计的命中率会更高(当然费用会更高,因为风险降低了)。

接下来,我们看看置信区间是如何进行区间估计的。

置信区间

我们通过对人类身高的估计来讲解什么是置信区间。

上帝视角

对于人类真实的平均身高,我们是没有办法知道的,因为几乎不可能把每个人都统计到。

但这个数据肯定是真实存在的,我们可以说,上帝知道。

在这里我们引入了上帝视角,即上帝看到的人类身高的真实分布。

假设人类的身高分布服从如下正态分布
也就是说全体人类的平均身高为145cm,为了表示只有上帝可以看到,我把真实分布用虚线来表示:

点估计

比如下面是一次抽样数据,我把算出来的样本均值(记作 图片 )画在图上(蓝色的点):

μ就是对真实的  μ   的一次点估计。

通过一次次的抽样,我们可以算出不同的身高均值的点估计:

们分辨不出哪个点估计更好:

区间估计可以改进此问题。

置信区间

置信区间,提供了一种区间估计的方法。

下面采用 95% 置信区间来构造区间估计(什么是  95%   置信区间,这个我们后面解释):

通过 95% 置信区间构造出来的区间,我们可以看到,基本上都包含了真实的 μ,除了红色的那根。

仍然不知道哪一个区间估计更好:

但是,和点估计比较:

点估计和区间估计,都不知道哪个点或者哪个区间更好

但是,按照 95% 置信区间构造出来的区间,如果我构造出100个这样的区间,其中大约有95个会包含 μ

95%置信区间

假设人群的身高服从:

其中 μ未知,σ已知。

我们不断对人群进行采样,样本的大小为 n ,样本的均值:

根据大数定律和中心极限定律, M 服从:

我们可以算出以 μ  为中心,面积为0.95的区间,如下图:

即:

也就是, M有 95%的几率落入此区间:

我们以  为半径做区间,就构造出了 95%置信区间。按这样构造的100个区间,其中大约有95个会包含图片:

那么,只有一个问题了,我们不知道、并且永远都不会知道真实的 μ 是多少。

我们就只有用 ~ μ    来代替   μ  :

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发布时间
2023-09-05 22:24
更新时间
2023-09-05 22:43
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