置信区间，就是一种区间估计。

点估计与区间估计

游戏规则是（假设只有一个大奖）：

大奖事先就固定好了，一定印在某一张刮刮卡上

买了刮刮卡之后，刮开就知道自己是否中奖

那么我们起码有两种策略来刮奖：

点估计：买一张，这就相当于你猜测这一张会中奖

区间估计：买一盒，这就相当于你猜测这一盒里面会有某一张中奖

很显然区间估计的命中率会更高（当然费用会更高，因为风险降低了）。

接下来，我们看看置信区间是如何进行区间估计的。

置信区间

我们通过对人类身高的估计来讲解什么是置信区间。

上帝视角

对于人类真实的平均身高，我们是没有办法知道的，因为几乎不可能把每个人都统计到。

但这个数据肯定是真实存在的，我们可以说，上帝知道。

在这里我们引入了上帝视角，即上帝看到的人类身高的真实分布。

假设人类的身高分布服从如下正态分布
也就是说全体人类的平均身高为145cm，为了表示只有上帝可以看到，我把真实分布用虚线来表示：

点估计

比如下面是一次抽样数据，我把算出来的样本均值（记作 图片 ）画在图上（蓝色的点）：

μ就是对真实的  μ   的一次点估计。

通过一次次的抽样，我们可以算出不同的身高均值的点估计：

们分辨不出哪个点估计更好：

区间估计可以改进此问题。

置信区间

置信区间，提供了一种区间估计的方法。

下面采用 95% 置信区间来构造区间估计（什么是  95%   置信区间，这个我们后面解释）：

通过 95% 置信区间构造出来的区间，我们可以看到，基本上都包含了真实的 μ，除了红色的那根。

仍然不知道哪一个区间估计更好：

但是，和点估计比较：

点估计和区间估计，都不知道哪个点或者哪个区间更好

但是，按照 95% 置信区间构造出来的区间，如果我构造出100个这样的区间，其中大约有95个会包含 μ

95%置信区间

假设人群的身高服从：

其中 μ未知，σ已知。

我们不断对人群进行采样，样本的大小为 n ，样本的均值：

根据大数定律和中心极限定律， M 服从：

我们可以算出以 μ  为中心，面积为0.95的区间，如下图：

即：

也就是， M有 95%的几率落入此区间：

我们以  为半径做区间，就构造出了 95%置信区间。按这样构造的100个区间，其中大约有95个会包含图片：

那么，只有一个问题了，我们不知道、并且永远都不会知道真实的 μ 是多少。

我们就只有用 ~ μ    来代替   μ  ：